*** Dépistage d'une maladie

Les autorités sanitaires d'un pays lancent un programme de dépistage contre un virus qui a déjà infecté \(4{,}8~\%\) de la population nationale. Elles missionnent un laboratoire pharmaceutique pour évaluer la performance d'un nouveau test qui permet de détecter si une personne a déjà été infectée ou non par ce virus.

Pour cela, le laboratoire s'appuie sur deux paramètres :

• la sensibilité du test, qui est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne a contracté la maladie (vrai positif) : autrement dit, c'est la capacité du test à détecter correctement les personnes malades ;
  
• la spécificité du test, qui est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n’a pas contracté la maladie (vrai négatif) : c'est la capacité du test à identifier correctement les personnes non malades.
  

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :

• sa sensibilité est de \(0{,}78\) ;
• sa spécificité est de \(0{,}92\).
  

Le laboratoire prélève au hasard une personne soumise à ce test dans la population. On considère les événements suivants :

• \(\text{I}\) : « la personne a déjà été infectée par le virus »
• \(\text{T}\) : « le test réalisé est positif »
  

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

2. Montrer que la probabilité que le test soit positif est \(0{,}1136\).
3. Quelle est la probabilité qu’un individu ait contracté la maladie sachant que son test est positif ? On donnera une valeur approchée à \(10^{−4}\) près du résultat.